固有値・固有ベクトル
行列の固有値計算
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プリセット
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- 📌 対角行列
- 📌 一般行列
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このツールについて
この「固有値・固有ベクトル計算ツール」は、2x2行列が表すシステムの振る舞いを深く理解するために不可欠です。例えば、株式市場の価格変動やロボットアームの動作安定性を分析する際、行列の固有値は、そのシステムが時間と共にどのように変化し、最終的にどのような状態に落ち着くか（あるいは発散するか）を示します。具体的には、固有値が1より大きければ成長傾向、1より小さければ減衰傾向、1であれば安定状態への収束を示唆。これにより、将来予測やシステム設計の最適化に役立ちます。
計算の仕組み
このツールは、入力された2x2行列 `A = [[a, b], [c, d]]` の固有値と固有ベクトルを以下のロジックで計算します。まず、特性方程式 `det(A - λI) = 0` を導出します。これは `λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) = 0` という二次方程式になります。ここで `a+d` は行列のトレース、`ad-bc` は行列式です。次に、この二次方程式を解の公式 `λ = (-(a+d) ± √((a+d)^2 - 4(ad-bc))) / 2` を用いて解き、二つの固有値 `λ1` と `λ2` を求めます。最後に、各固有値 `λ` に対して `(A - λI)v = 0` を満たす非ゼロベクトル `v` を計算し、対応する固有ベクトルを導き出します。
使用例
株式市場の変動トレンド予測
ある株式の価格変動が前日の価格にどのように依存するかを行列でモデル化し、市場の安定性を評価します。
- a: 0.8
- b: 0.2
- c: 0.1
- d: 0.9
固有値1.0は、このシステムが長期的に安定した状態（定常状態）に収束する可能性を示唆します。もう一方の固有値0.7は、変動の一部が時間とともに減衰していくことを意味し、市場の急激な変化が収まりやすい傾向を示唆。これにより、投資家は長期的なトレンドを予測する手助けを得られます。
ロボットアームの動作安定性評価
ロボットアームの関節角度が次時刻にどう変化するかを2x2行列で表現し、設計の安定性を評価します。
- a: 0.5
- b: 0.3
- c: 0.1
- d: 0.6
固有値が全て1より小さい場合、ロボットアームの動作は時間とともに安定した状態に収束する傾向があります。これは、外部からのわずかな摂動があっても、アームが過度に振動することなく、やがて目標位置に落ち着く設計であることを示唆し、システムの信頼性評価や設計改善に役立ちます。
生態系モデルの個体数変動予測
捕食者と被食者の個体数変化を線形モデルで表現し、長期的な安定性や変動パターンを分析します。
- a: 1.1
- b: -0.2
- c: 0.1
- d: 0.8
固有値の一つが1を超え、もう一つが1を下回る場合、個体数変動が特定のパターンで増減しつつ、全体としては緩やかに成長または減少する傾向があることを示します。この結果は、生態系が完全に安定せず、特定の種が優位になる可能性や、周期的な変動が続くことを示唆し、環境保全策立案に有用です。
計算方法の解説
固有値・固有ベクトル
行列[[a,b],[c,d]]の固有値を計算します。固有値はAx=λxを満たすスカラー値λです。