一次合同式
一次合同式 ax ≡ b (mod m) を解きます
- 1. 入力条件を入れる
- 2. 計算ボタンを押す
- 3. 結果がすぐ表示
プリセット
- 📌 例1: 3x≡5(mod 7)
- 📌 例2: 2x≡4(mod 8)
- 📌 例3: 5x≡10(mod 15)
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このツールについて
例えば、時計の針が現在1時を指しており、そこから50時間後の時刻を知りたい場合、24時間で1周する性質から一次合同式の考え方が役立ちます。また、7日周期で繰り返す曜日計算や、ある特定の日から数えてN日目が何曜日になるかといった問題も、この式で効率的に解くことができます。本ツールは、このような周期性のある問題における未知数xを素早く特定し、複雑な計算を手間なく解決します。
計算の仕組み
本ツールは、入力された一次合同式 `ax ≡ b (mod m)` に対して、まず `a` と `m` の最大公約数 `g = gcd(a, m)` を計算します。もし `b` が `g` で割り切れない場合、解は存在しないと判断します。解が存在する場合、拡張ユークリッドの互除法を用いて `a` の `m` を法とする逆元 `a⁻¹` を特定します。具体的には、`a'` を `a/g`、`m'` を `m/g` とし、`a'x + m'y = 1` を満たす `x` を求めます。この `x` が `a'` の `m'` を法とする逆元です。最終的な解は `x ≡ (b/g) * x (mod m/g)` の形で見つかり、この基本解から `g` 個の解を `x = x₀ + k * (m/g)` (k=0, 1, ..., g-1) の形で導出します。
使用例
未来の曜日予測
今日が月曜日（0）として、100日後の曜日を知りたい。
- a: 1
- b: 100
- m: 7
100日後の曜日を簡単に特定できます。今日を基準に、特定の日数が経過した後の曜日や、特定の曜日になるまでの日数を計算する際に活用できます。これにより、長期的なイベント計画やスケジュール管理が容易になります。
複数のサイクルスケジュールの同期
3日周期で巡回するルートがあり、現在地から2日目に特定の地点に到達する。次に到達するのは何日後か。
- a: 1
- b: 2
- m: 3
周期的なイベントで、特定の条件を満たすタイミングを把握できます。例えば、巡回バスの運行スケジュールや、繰り返し行われるタスクの完了時期など、効率的な計画立案に役立ちます。
RSA暗号の逆元計算（簡略版）
暗号化に必要な逆元を求める。例えば、`5x ≡ 1 (mod 26)` を解きたい。
- a: 5
- b: 1
- m: 26
公開鍵暗号（RSAなど）で重要な役割を果たす「モジュラー逆元」を計算できます。これは、暗号化と復号化の鍵を生成する基礎となる計算であり、セキュアな通信を実現するために不可欠な要素です。
計算方法の解説
一次合同式
ax ≡ b (mod m)の形の一次合同式を解きます。gcd(a,m)がbを割り切る場合のみ解を持ちます。拡張ユークリッド互除法により効率的に計算します。